En la primera entrada de esta serie dedicada a describir una trayectoria de aprendizaje para el desarrollo del pensamiento algebraico se presentó un elemento fundamental: el cambio entre las representaciones concreta, gráfica y simbólica. También se mostraron algunas de las piezas concretas que se usan en la implementación de esta trayectoria. En esta entrada se presentará el modelo teórico de esta etapa de desarrollo del pensamiento matemático.

Como ya se ha dicho antes, cada etapa de desarrollo del pensamiento matemático está descrita por un modelo teórico, que explica los procesos de pensamiento, y un modelo didáctico que explica las interacciones de enseñanza-aprendizaje que se deben dar para el desarrollo de dichos procesos.

La etapa que estamos describiendo está compuesta de los siguientes procesos de pensamiento:

• Asignación de las dimensiones
• Construcción de términos
• Determinación del inverso aditivo
• Conformación de ceros
• Reducción de términos semejantes
• Construcción de polinomios

A continuación, se presentan en detalle cada uno de ellos.

Asignación de las dimensiones

Este proceso implica que los estudiantes reconozcan las características de las piezas geométricas con las que van a interactuar, estas características son de tres tipos: el número de dimensiones de la pieza (ya sea de 0, 1, 2 o 3 dimensiones), las longitudes en cada una de las dimensiones (que pueden ser pequeñas, medianas o grandes) y el color (negro o rojo). Estas características están directamente relacionadas con las características de las expresiones algebraicas (como se verá posteriormente).

Como ya se dijo antes, el desarrollo de cada uno de estos procesos de pensamiento pasa por tres momentos de representación: concreto, pictórico y simbólico.

Por ejemplo, en el marco de desarrollo de este proceso de pensamiento, en la representación concreta, los estudiantes describen e identifican piezas como esta (regularmente elaboradas en madera):

de la siguiente manera: un paralelepípedo (tres dimensiones), de aristas pequeña, mediana y grande, y de color negro.

Luego, en el nivel de representación pictórico, dibujan y describen formas (desde el dibujo), usando los tipos de características.

Por último, en el nivel simbólico, los estudiantes asocian los tipos de características de las piezas a las características de las expresiones algebraicas, así:

• El número de dimensiones de cada pieza es el grado de la expresión, por ejemplo, piezas bidimensionales se asocian a expresiones de grado 2.
• La longitud en cada una de las dimensiones de una pieza se asocia con una variable; x para la longitud corta, y para la longitud mediana y z para la longitud grande.
• El color de la pieza representa el signo de la expresión algebraica: negro es positivo y rojo es negativo.

Este proceso es fundamental y se debe realizar durante un tiempo relativamente prolongado porque es la base de la generación de las nociones algebraicas a partir de las nociones geométricas.

Construcción de términos

Desde el punto de vista geométrico, un término está formado por un conjunto de piezas del mismo tipo. Por eso, para el desarrollo de este proceso, en el nivel concreto, los estudiantes describen y construyen términos usando las piezas geométricas. Por ejemplo, ante la instrucción: construir un término que tengan grado 1 y signo negativo, ellos pueden presentar algo como esto:

Estrictamente hablando, el conjunto de piezas que representan un término debe estar organizado de forma vertical.

De manera análoga que en el proceso anterior, en el nivel de representación pictórico de este proceso, los estudiantes dibujan y describen términos; y en el nivel simbólico asocian piezas y dibujos a representaciones simbólicas, valga la redundancia. Por ejemplo, el término del dibujo anterior se representa como -5z (ya que las piezas son cinco líneas rojas de longitud larga).

Determinación del inverso aditivo

Geométricamente, el inverso aditivo de una pieza es una pieza de la misma forma pero del otro color, es decir, que los inversos aditivos de piezas rojas son piezas negras y viceversa.

Este proceso es sencillo en su desarrollo, pero muy importante para la comprensión posterior de las operaciones con expresiones algebraicas.

De la misma manera que en los procesos anteriores, el desarrollo de este proceso pasa por los tres niveles de representación con actividades de identificación, descripción, construcción y escritura simbólica.

Conformación de ceros

Este proceso es consecuencia directa del desarrollo del proceso anterior, puesto que cuando se reúnen un término y su inverso aditivo, se anulan, dando como resultado un cero. Este es otro proceso sencillo en su desarrollo, pero crucial para la comprensión de las operaciones aditivas con expresiones algebraicas.

Reducción de términos semejantes

Así como con los anteriores procesos, el desarrollo de este también es una consecuencia directa, y esta es una característica de esta trayectoria de aprendizaje: su estricta secuencialidad, que genera un aprendizaje natural del pensamiento algebraico. Se puede pensar en este proceso como la puerta de entrada a las operaciones algebraicas, en particular, a la suma y resta de polinomios.

Sin ánimo de redundar, pero sí de ser claros, el desarrollo de este proceso también pasa por los tres niveles de representación.

Construcción de polinomios

Un polinomio es una expresión algebraica que se construye a partir de la suma o resta de términos. Geométricamente se ve como la yuxtaposición de términos que no son semejantes entre sí. En el desarrollo de este proceso, los estudiantes usan los procesos anteriores para construir, describir, dibujar y representar simbólicamente polinomios, siempre teniendo como secuencia de desarrollo la de la abstracción a través de los cambios de representación.

Desde el punto de vista pictórico, el siguiente es un ejemplo de polinomio:

que simbólicamente se puede expresar como: -y²x + 2yx – 7x

De esta manera se describieron los procesos de pensamiento que componen la primera parte del segundo nivel de abstracción, uno de los cuatro niveles de desarrollo del pensamiento matemático que propone Matemáticas para la vida

Una vez desarrollados estos procesos en los estudiantes se puede pasar al aprendizaje de las operaciones entre polinomios. Los algoritmos para estas operaciones también se pueden construir de manera concreta, pictórica y simbólica y serán tema de una entrada diferente de este blog.