En días pasados estuve enseñando matemáticas a mi sobrina, más específicamente estuve enseñándole trigonometría. Ella es una persona especialmente curiosa e inteligente (habló el tío orgulloso), y por eso quise mostrarle este campo de las matemáticas antes de que se lo enseñaran en su colegio. En esta entrada les cuento cómo lo hice.

Dentro de la epistemología de las matemáticas hay una pregunta clásica: ¿son las matemáticas un descubrimiento o una creación del ser humano? Hay tantas respuestas a esta pregunta como personas que han pensado en ella. Esta pregunta se puede reformular en una manera equivalente (y que sigue siendo igual de difícil de responder): ¿las matemáticas dieron origen al pensamiento matemático o el pensamiento matemático dio origen a las matemáticas?

Como dije, esta última forma de la pregunta no facilita su respuesta, pero permite hacer elecciones pedagógicas. Me explico.

Una opción es enseñar los objetos matemáticos como producto final, separados de la necesidad o del contexto que les dio origen. Esta es una forma clásica de enseñar matemáticas.

Otra opción es presentar las necesidades o contextos de los objetos matemáticos antes de enseñar sus características y algoritmos. Esta es la forma en la que se hace en Matemáticas para la vida. Esta forma se denomina abordaje matematizable, ya que los objetos matemáticos se ven como representaciones de los objetos de la realidad matematizable (no matemática).

Y , ¿qué tiene que ver esto con la forma en que le enseñé trigonometría a mi sobrina? Pues, cuando se enseña trigonometría de la manera clásica, los profesores toman la primera de las dos opciones que mencioné anteriormente: presentan primero los objetos matemáticos asociados a esta rama: razones trigonométricas, funciones trigonométricas, resultados relacionados con los triángulos, etc., y después presentan (algunas veces) su aplicación.

En cambio, para explicarle a mi sobrina, usé la segunda opción: partí por mostrarle que cada uno de los tipos de pensamiento matemático nació a partir de una(s) necesidad(es), a saber:

• Pensamiento numérico: necesidad de contar.
• Pensamiento métrico: necesidad de comparar.
• Pensamiento variacional: necesidad de predecir o describir los cambios.
• Pensamiento geométrico: necesidad de ubicarse y de describir las formas.

A partir de esto, le mostré que la trigonometría es un campo de las matemáticas que incluye objetos matemáticos que dan respuesta a necesidades en tres de estos tipos de pensamiento: métrico, variacional y geométrico.

Así, en el pensamiento métrico, la necesidad de la trigonometría es determinar las medidas de los elementos de los triángulos (lados y ángulos) y, para esto, se establecen relaciones (razones), entre estos elementos. Para esto, se definen las razones (seno, coseno y tangente de un ángulo, para empezar) como la relación entre dos cantidades métricas. Nota: ella ya conocía el teorema de Pitágoras y la relación entre los ángulos interiores de un triángulo.

A partir de lo anterior, le hablé de cómo la trigonometría satisface la necesidad de describir las formas, que es una de las que dan origen al pensamiento geométrico. Para esto, le pedí que describiera las coordenadas de un punto sobre un círculo de radio cualquiera ubicado con centro en el origen del plano cartesiano. Pronto se dio cuenta de que se volvía al contexto del eje de pensamiento métrico. También le mostré la simplificación que se consigue cuando el círculo tiene radio igual a uno.

Por último, en conexión con el pensamiento geométrico, evolucioné las necesidades, y le pedí que imaginara que el punto cuya posición describió anteriormente se estaba moviendo alrededor del círculo con una velocidad constante y, a partir de esto, construí con ella el objeto función periódica y luego función trigonométrica; con este modelo (y variando ligeramente la necesidad cada vez) le pude contar sobre los parámetros de una función trigonométrica (amplitud, periodo y fase).

Por último, conecté la definición de función trigonométrica con la definición de razón trigonométrica que había surgido del pensamiento métrico y, en ese momento, cerré el ciclo de conexión entre los objetos matemáticos de la trigonometría. ¡Vale decir que fue también, en ese momento, que vi la expresión de «ajá» en la cara de mi sobrina!

Haber escogido la segunda opción pedagógica (el abordaje matematizable) para explicar a mi sobrina los objetos de la trigonometría le permitió ganar el sentido y hacer de este un aprendizaje significativo. Este es un ejemplo de cómo Matemáticas para la vida enseña matemáticas como manifestación del pensamiento matemático.