Aunque el título de esta entrada puede ser criticable porque suena a juego de palabras para captar la atención (… que también es la intención de un título), quiero dejar claro que tiene toda la intención de mostrar que el aprendizaje de los números negativos (es decir, del conjunto de los números enteros) puede ser un asunto interesante y agradable para estudiantes y profesores. Veamos por qué.

La forma normal de introducir los números en la escolaridad básica (por lo menos en Colombia, que es el entorno que yo más conozco) es más o menos así:

• En preescolar, los estudiantes aprenden ‘los números’, es decir, aprenden la ristra de números hasta un valor determinado, más o menos arbitrario. Esto es lo que suele llamarse familias numéricas. Este valor es tan arbitrario, que hay preescolares en donde los estudiantes ‘llegan’ hasta el 60 o hasta el 90… porque sí… porque hasta ahí alcanzó el tiempo.
• Luego en primaria, estas familias numéricas crecen y se aprenden las operaciones básicas, siempre pensando en números enteros no negativos (es decir, incluyendo al cero). De hecho, las operaciones no clausurativas en los números naturales (resta y división) se enseñan teniendo cuidado de que sus resultados no se salgan de este conjunto. Y si, en algún momento se llegan a salir (normalmente por distracción del profesor o, mejor aún, por curiosidad de algún estudiante), la respuesta ‘oficial’ que se da es que esa operación no se puede hacer (aún).
• Los números (mal llamados) decimales aparecen al final de la primaria como si fueran otro tipo de números diferentes a los que se han trabajando en el colegio. Además, normalmente aparecen después de los números fraccionarios, que de hecho son usados como plataforma para la construcción de los ‘números decimales’.
• Luego, en bachillerato aparecen los números enteros, cuya connotación para muchos estudiantes (y profesores) es que son números que ‘tienen signo’. Lo cual puede ser muy confuso, porque durante toda la primaria los signos se referían a operaciones y no a características intrínsecas de los números.

Como el lector atento se puede dar cuenta, la presentación que acabo de hacer no deja de tener cierto sesgo de crítica hacia esta forma de abordar los números en el colegio.

Esta crítica ha llevado a que, de manera coherente con sus principios, Matemáticas para la vida proponga una manera diferente de introducir los números y sus operaciones:

• En preescolar, es decir, en la primera etapa del desarrollo del pensamiento matemático (el primer nivel de abstracción), los estudiantes aprenden los procesos de asignación, agrupación (no posicional y posicional), agregación y diferencia, basados en elementos concretos-manipulables. Este aprendizaje permite que los estudiantes comprendan la necesidad de expresar los números como lo hacemos actualmente y entiendan que no son limitados; no aprenden los números por subconjuntos de cierto tamaño, sino que aprenden la lógica del conteo. Esto se muestra en el libro «El desarrollo del pensamiento matemático en la primera infancia» (Díez, Pantano y Camargo, 2012).
• Luego, durante la segunda etapa del desarrollo del pensamiento matemático (el primer nivel de matematización), los estudiantes aprenden las operaciones con los números, sin restringir los contextos a los números positivos. Aunque en honor a la verdad, algunos colegios que usan Matemáticas para la vida no introducen deliberadamente números negativos en los primeros años de escolaridad, más por ‘corrección política’ que por criterios pedagógicos. De todos modos, si se llega a presentar el caso en que el resultado de una operación sea un número negativo, se permite y se enseña la noción de este tipo de números, de la manera que veremos más adelante.
• Los ‘números decimales’ no se presentan como un conjunto aparte, sino que se usan en las operaciones desde el mismo momento en que empieza la primaria; esto se puede hacer porque los estudiantes comprenden la lógica de la agrupación, es decir, la lógica de la numeración decimal. Nuevamente, algunos colegios prefieren introducirlos posteriormente por razones de tradición.
• Según el anterior punto, los números fraccionarios no son plataforma para la introducción de los números decimales. Los fraccionarios responden a otro tipo de necesidad y se presentan aparte, aunque luego se muestra que, tanto estos como los ‘números decimales’, son formas equivalentes de cantidades relativas.

Ahora, hablando específicamente de los números enteros (no positivos), hay varias formas de presentarlos, pero Matemáticas para la vida prefiere el modelo de representación en la recta numérica porque coincide con el principio que propone que se debe partir desde representaciones concretas y avanzar haciendo abstracciones sucesivas. Además, en esta forma de representación, se puede mostrar la diferencia en la naturaleza del signo como característica del número y como operación.

Veamos algunos ejemplos de la forma de presentación de operaciones aditivas (suma-resta) y de la multiplicación.

Para efectuar, por ejemplo, la siguiente operación:

6 – 9 + 8

se considera cada número como un movimiento con magnitud y sentido, de modo que el primer número (+6) implica un movimiento hacia la derecha en la recta numérica, partiendo desde el cero. Luego, el segundo número (-9) implica un movimiento hacia la izquierda desde el punto en donde había terminado el anterior movimiento, que al ser de magnitud mayor que el primer movimiento, tiene su fin a la izquierda del cero. Por último, el tercer número (+8) implica que nos movamos, nuevamente desde donde estábamos en el anterior movimiento, dicha cantidad hacia la derecha. El número en donde terminan los movimientos es el resultado de la operación.

Veamos ahora que la forma que presentamos antes es coherente con la forma que se usa para la multiplicación, analizando los siguientes ejemplos:

3 x 6

Acá es necesario saber que esta operación se lee: «3 veces 6» y que, por lo tanto, los números 3 y 6 no son de la misma naturaleza: el 6 es una cantidad, mientras que el 3 es un indicador de repetición aditiva. De esta manera, lo que la operación indica hacer es repetir 3 veces el movimiento hacia la derecha de magnitud 6, partiendo desde el cero.

Otro ejemplo:

5 x (-4)

Acá, la operación indica repetir 5 veces un movimiento de 4 hacia la izquierda, partiendo desde el cero.

Veamos un último ejemplo:

-6 x 7

En este caso, el signo negativo en el número de veces indica que el resultado que produzca hacer 6 veces 7, debe quedar en el lado opuesto.

Usando este modelo no es necesario ‘enseñar’ la ley de los signos, porque son los estudiantes quienes la deducen. Esta es una de sus ventajas.

Otras ventajas del modelo son el ajuste al principio pedagógico que indica cómo enseñar nociones (desde una aproximación concreta que evoluciona en representaciones abstractas); coherencia entre lo aditivo y lo multiplicativo; y la facilidad para trabajar con números pequeños y grandes, porque solo depende de la comparación entre las cantidades.